Question

（理做）已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+

m

2

sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
（1）当m=0时，求f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的取值范围；
（2）当tanα=2时，f(α)=

3

5

，求m的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用恒等变换把函数关系式转化成正弦型函数，进一步利用定义域求函数的值域．
（2）先把函数变形成简单的形式，进一步利用函数的正切值，求出正弦值和余弦值，最后求出参数m的值．

解答： 解：（1）当m=0时，f（x）=f（x）=sin²x+sinxcosx=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

由于x∈[

π

8

，

3π

4

]
所以：2x-

π

4

∈[0，

5π

4

]
sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]
f（x）∈[0，

1+ 2

2

]
（2）由于f(x)=sin2x+sinxcosx+

m

2

sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
=

1

2

[sin2x-(1+

m

2

)cos2x]+

1

2

所以：f（α）=

1

2

[sin2α-(1+

m

2

)cos2α]+

1

2

tanα=2
所以：sin2α=

2tanα

1+tan2α

=

4

5

，cos2α=

1-tan2α

1+tan2α

=-

3

5

由于：f(α)=

3

5

3

5

=

1

2

[

4

5

+(1+

m

2

)]+

1

2

解得：m=-4

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，求参数的值．属于基础题型