Question

函数f（x）=2^x和g（x）=x³的图象的示意图如下图所示．设两个函数的图象交于点A（x₁，y₁），B，₂，y₂）且x₁＜x₂．
（1）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，910，11，12}，指出a，b的值，并说明理由；
（2）结合函数图象示意图，请把f（6），g（6），f（2007），g（2007）四个数按从小到大的顺序排列．

Answer 1

考点：指数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据指数函数、幂函数的图象特点，可得结论，令φ（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，则x₁，x₂为函数φ（x）的零点，确定其所在区间，即可得出结论；
（2）从图象上可以看出，当x₁＜x＜x₂时，f（x）＜g（x），当x＞x₂时，f（x）＞g（x），即可得出结论．

解答： 解：（1）C₁对应的函数为g（x）=x³，C₂对应的函数为f（x）=2^x．a=1，b=9．理由如下：
令φ（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，则x₁，x₂为函数φ（x）的零点，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=2⁹-9³＜0，φ（10）=2¹⁰-10³＞0，
则方程φ（x）=f（x）-g（x）的两个零点x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
因此整数a=1，b=9．…（9分）
（2）从图象上可以看出，当x₁＜x＜x₂时，f（x）＜g（x），
∴f（6）＜g（6）．
当x＞x₂时，f（x）＞g（x），∴g（2007）＜f（2007），
∵g（6）＜g（2007），
∴f（6）＜g（6）＜g（2007）＜f（2007）．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的零点，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．