Question

已知函数f（x）=

4x2+1

x

（x≠0）各项均为正数的数列{a_n}中a₁=1，

1

an+1

=f(an)，（n∈N^x）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在数列{b_n}中，对任意的正整数n，b_n•

(3n-1)an2+n

an2

=1都成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和试比较S_n与

1

2

的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意知

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4，结合等差数列的通项公式可求{

1

a 2 n

}是以1为首项4为公差的等差数列，结合a_n＞0，可求
数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n•

(3n-1)an2+n

an2

=1，利用裂项求和可求S_n，即可判断S_n与

1

2

的大小．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

4x2+1

x

（x≠0），

1

an+1

=f(an)，
∴

1

an+1

=

4 a 2 n +1

an

⇒

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

=4，
又∵a₁=1，
∴{

1

a 2 n

}是以1为首项4为公差的等差数列，
∴

1

a 2 n

=4n-1，
∴a_n＞0，
∴an=

1

4n-3

---------------------（6分）
（2）∵在数列{b_n}中，对任意的正整数n，b_n•

(3n-1)an2+n

an2

=1都成立，
∴bn=

a 2 n

(3n-1) a 2 n +n

=

1

(3n-1)+ n a 2 n

=

1

(3n-1)+n(4n-3)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

--------------（12分）

点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式，及数列的裂项求和方法的应用．