Question

15．已知f（x）=$\frac{2x}{2-x}$，设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N*），若f_m（x）=$\frac{x}{1-256x}$（m∈N*），则m等于（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 126

Answer 1

分析 通过计算f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），归纳可得f_n（x）=$\frac{x}{1-{2}^{n-2}x}$（n∈N*），由恒等式可得m的方程，即可得到m的值．

解答 解：f（x）=$\frac{2x}{2-x}$，
设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N*），
可得f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（$\frac{2x}{2-x}$）=$\frac{2•\frac{2x}{2-x}}{2-\frac{2x}{2-x}}$=$\frac{x}{1-x}$，
f₃（x）=f₂[f₂（x）]=f₂（$\frac{x}{1-x}$）=$\frac{\frac{x}{1-x}}{1-\frac{x}{1-x}}$=$\frac{x}{1-2x}$，
f₄（x）=f₃[f₃（x）]=f₃（$\frac{x}{1-2x}$）=$\frac{\frac{x}{1-2x}}{1-2•\frac{x}{1-2x}}$=$\frac{x}{1-4x}$，
f₅（x）=f₄[f₄（x）]=f₄（$\frac{x}{1-4x}$）=$\frac{\frac{x}{1-4x}}{1-4•\frac{x}{1-4x}}$=$\frac{x}{1-8x}$，
…，f_n（x）=$\frac{x}{1-{2}^{n-2}x}$（n∈N*），
由f_m（x）=$\frac{x}{1-{2}^{m-2}x}$=$\frac{x}{1-256x}$恒成立，
可得2^m-2=256=2⁸，
即有m-2=8，即m=10．
故选：B．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用代入法，归纳法，考查运算能力，属于中档题．