Question

3．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t为参数t∈R）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程．
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去t，能求出直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程转化为ρ²=2ρsinθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）圆心（0，1）到直线l的距离d=2，由此能求出曲线C上的点到直线l的距离的最小值和最大值．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t为参数t∈R），
∴消去t，得直线l的普通方程为：$\sqrt{3}x+y-5=0$…2分，
∵曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ²=2ρsinθ
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0或x²+（y-1）²=1…4分．
（2）圆心（0，1）到直线l的距离为$d=\frac{|1-5|}{2}=2$
∴曲线C上的点到直线l的最大距离为2+1=3．…8分，
最小距离为2-1=1．…10分．

点评 本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查圆上的点到直线的最大距离和最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．