Question

1．设a，b∈R，且对一切x≤0，不等式（ax+2）（x²+2b）≤0恒成立，则a²-b的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用换元法设f（x）=ax+2，g（x）=x²+2b，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质进行判断求解即可．

解答 解：∵（ax+2）（x²+2b）≤0对任意x∈（-∞，0]恒成立，
∴当x=0时，不等式等价为4b≤0，即b≤0，
设f（x）=ax+2恒过（0，2），g（x）=x²+2b，开口向上，
画出两个函数的图象，如图：
g（x）=x²+2b=0，可得x=-$\sqrt{-2b}$．x=$\sqrt{-2b}$（舍去）．
函数f（x）=ax+2的零点为x=-$\frac{2}{a}$，
则函数f（x）在（-$\frac{2}{a}$，0）上f（x）＞0，g（x）＜0；
若a=0，则f（x）=2＞0，而此不满足条件；
∵函数f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）上f（x）＞0，g（x）＜0，
可得：-$\frac{2}{a}$=-$\sqrt{-2b}$．
可得a²b=-2．
∴a²-b=a²+（-b）≥2$\sqrt{{a}^{2}（-b）}$=2$\sqrt{2}$．当且仅当a²=-b=$\sqrt{2}$时取等号．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数恒成立以及分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力，解题时应根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个函数的零点相同，是较难的题目．