Question

12．如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，给出以下结论：
①x的取值范围是（-∞，0）；
②y的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）；
③在阴影区域内一定存在点P，使得x+y=1；
④若x=-$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2}$＜y＜$\frac{3}{2}$．
其中正确结论的序号是①④．（填上你认为所有正确的结论序号）

Answer 1

分析 结合图形，根据条件即可得到$\overrightarrow{OP}=（x+y）\overrightarrow{OB}+（-x）\overrightarrow{OM}$，从而有$\left\{\begin{array}{l}{0＜x+y＜1}\\{-x＞0}\end{array}\right.$，这样便可判断每个结论的正误，找出正确结论的序号．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}$；
∴$\overrightarrow{OP}=（x+y）\overrightarrow{OB}+（-x）\overrightarrow{OM}$；
点P在阴影区域，不含边界；
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x+y＜1}\\{-x＞0}\end{array}\right.$；
∴x＜0，为使0＜x+y＜1，y的范围不会为（0，$\frac{1}{2}$）；
∵P点不和B重合，∴x+y≠1；
显然，$x=-\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}＜y＜\frac{3}{2}$；
∴①④正确．
故答案为：①④．

点评 考查向量加法的几何意义，相反向量和相等向量的概念，以及向量加法的平行四边形法则，清楚点P所在的区域．