Question

10．设全集为R，已知A={x|2＜x≤3}，B={x|a≤x≤3a}
（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围
（2）若（∁_RA）∩B=B，求实数a的取值范围．
（3）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由A∪B=B，可得A⊆B，然后由两集合端点值间的关系列不等式得答案；
（2）求出∁_RA，由（∁_RA）∩B=B，得B⊆∁_RA，然后分B是空集和非空求解；
（3）分B=∅和B≠∅分类求解，当B≠∅时，由两集合端点值间的关系列不等式得答案．

解答 解：全集为R，已知A={x|2＜x≤3}，B={x|a≤x≤3a}．
（1）若A∪B=B，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2，∴实数a的取值范围是[1，2]；
（2）∁_RA={x|x≤2或x＞3}，若（∁_RA）∩B=B，则B⊆∁_RA，
若a＜0，B=∅，满足B⊆∁_RA；
若a≥0，要使B⊆∁_RA，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{3a≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a＞3}\end{array}\right.$，解得$0≤a≤\frac{2}{3}$或a＞3．
∴实数a的取值范围为（-∞，$\frac{2}{3}$]∪（3，+∞）；
（3）当a＜0时，B=∅，A∩B=∅；
当B≠∅时，要使A∩B=∅，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{3a≤2}\end{array}\right.$，解得0$≤a≤\frac{2}{3}$或a＞3．
∴实数a的取值范围是（-∞，$\frac{2}{3}$]∪（3，+∞）．

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，考查了集合间的包含关系应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．