Question

若关于x的不等式|x-1|＜ax的解集中恰好有两个整数，则a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  3

  ，

  2

  3

  ]
• B、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• C、（

  2

  3

  ，1]
• D、（-1，0）

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得满足（a+1）x＞1，且（1-a）x＜1的整数x共有2个，分类讨论求得a的范围．

解答： 解：由|x-1|＜ax，可得-ax＜x-1＜ax，∴（a+1）x＞1，且（1-a）x＜1．
①当a＜-1时，则有x＜

1

a+1

，且x＜

1

1-a

，故 x＜

1

a+1

，显然，x有无数多个，不满足条件．
②当a=-1时，则有0＞1且x＜

1

2

，不满足条件．
③当-1＜a＜1时，则有x＞

1

a+1

，且x＜

1

1-a

，由于x只有2个整数解，∴1＜

1

1-a

-

1

a+1

≤2，
求得

2

-1＜a≤

5 -1

2

．
代入2个a的端点值，可得不等式|x-1|＜ax的解集中的2个整数应为1和2，∴0≤

1

a+1

＜1，且 3≥

1

1-a

＞2，
求得

1

2

＜a≤

2

3

．
④当a=1时，满足x＞

1

2

，显然不止两个整数解（舍去）．
⑤当a＞1时，则有（a+1）x＞1，且（1-a）x＜1，∴然不止两个整数解（舍去）．
综上可得，得

1

2

＜a≤

2

3

，
故选：B．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．