Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2．
（1）直线PB与CD所成角的余弦值；
（2）求直线CD和平面PAB所成的角θ的大小．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连结CO、PO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与CD所成角的余弦值．
（2）求出平面PAB的法向量和$\overrightarrow{CD}$，利用向量法能求出直线CD和平面PAB所成的角θ的大小．

解答 解：（1）取AD中点O，连结CO、PO，
∵四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，
∴PO⊥平面ABCD，CO⊥AD，
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），D（0，1，0），B（1，-1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PB}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
设直线PB与CD所成角为α，
则cosα=|$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{CD}|}$|=|$\frac{-1-1}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直线PB与CD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）A（0，-1，0），$\overrightarrow{PA}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{PB}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（0，-1，1）$，
∵直线CD和平面PAB所成的角为θ，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴直线CD和平面PAB所成的角θ为30°．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．