Question

5．关于函数f（x）=$lg\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$（x≠0），有下列命题：
①f（x）的最小值是lg2；
②其图象关于y轴对称；
③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；
④f（x）在区间（-1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 是结合复合函数单调性的关系进行判断．
②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；
③利用对勾函数的单调性判断；
④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．

解答 解：①函数f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$，（x∈R且x≠0）．
∵$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$$≥\frac{2|x|}{|x|}$=2，
∴f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，
②∵f（-x）=$lg\frac{（-x）^{2}+1}{|-x|}=lg\frac{{x}^{2}+1}{|x|}$=f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；
③当x＞0时，t（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{|x|}=\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，
∴f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；
④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，
∴在（-1，0）上单调递增，在（-∞，-1）上得到递减，故④正确，
故答案为：①②④

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．