Question

7．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₆=9S₃．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=1+log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的求和公式，求得q=2，再由等比数列的通项公式即可得到；
（Ⅱ）运用对数的性质化简b_n=n，再由等差数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
a₁=1，S₆=9S₃，知q≠1，
故有$\frac{1-{q}^{6}}{1-q}$=$\frac{9（1-{q}^{3}）}{1-q}$，
即（1-q³）（1+q³）=9（1-q³），
即有1+q³=9，即q³=8，解得q=2，
则a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）b_n=1+log₂a_n=1+log₂2^n-1=1+n-1=n，
则数列{b_n}的前n项和为1+2+…+n=$\frac{1}{2}$n（1+n）．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查对数的运算和等差数列的求和公式，属于基础题．