Question

1．已知函数f（x）=|x²-2x|．
（1）在给出的坐标系中作出y=f（x）的图象；
（2）根据图象写出函数f（x）的单调区间和值域；
（3）若集合{x|f（x）=a}恰有三个元素，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=|x²-2x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2或x≤0}\\{2x-{x}^{2}，0＜x＜2}\end{array}\right.$，能作出函数y=f（x）的图象．
（2）结合f（x）的图象，能求出函数f（x）的单调区间和值域．
（3）由题意得，方程f（x）=a恰有三个不等实根，由此结合直线y=a的图象能求出实数a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=|x²-2x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥2或x≤0}\\{2x-{x}^{2}，0＜x＜2}\end{array}\right.$．
∴函数y=f（x）的图象如下图：

（2）结合图象得：
函数的单调增区间为[0，1]，[2，+∞），单减区间为（-∞，0]，[1，2]．
函数的值域为[0，+∞）．
（3）∵集合{x|f（x）=a}恰有三个元素，
∴由题意得，方程f（x）=a恰有三个不等实根，
结合直线y=a的图象可知，实数a的值为1．

点评 本题考查函数图象的作法、函数的单调区间及值域的求法、实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．