Question

6．正三棱锥的侧棱长为2$\sqrt{3}$，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{27\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 可作正三棱锥S-ABC，取底面中心为O，BC中点为D，连接SO，BO，OD，容易说明∠SBO=60°，并且∠OBD=30°，从而根据侧棱长可以分别求出该正三棱锥的高SO，底面正三角形的边长，从而可以求出底面面积，根据三棱锥的体积公式即可得出该三棱锥的体积．

解答 解：如图，正三棱锥S-ABC，底面中心为O，取BC中点D，连接SO，BO，OD，则：

SO⊥底面ABC，OD⊥BC；
∴∠SBO为侧棱SB和底面ABC所成角为60°；
∴∠SBO=60°，SB=$2\sqrt{3}$；
∴在RT△SBO中，OB=$SB•cos60°=\sqrt{3}$，SO=SB•sin60°=3；
∴$BD=OB•cos30°=\frac{3}{2}$，BC=3；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•3•3•sin60°=\frac{9\sqrt{3}}{4}$；
∴${V}_{三棱锥S-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•SO$=$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{4}×3=\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故选：C．

点评 考查正三棱锥的定义，正三角形中心的概念，以及直线和平面所成角的概念并能找到直线和平面所成角，直角三角形边角的关系，以及三角形面积公式，三棱锥的体积公式．