Question

8．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α=$\frac{π}{4}$），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程：
（2）设直线1与曲线C相交于A、B两点．求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入抛物线方程，可得根与系数的关系，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：y²=4x．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入抛物线方程可得：${t}^{2}-4\sqrt{2}t$-8=0．
∴t₁+t₂=4$\sqrt{2}$，t₁t₂=-8，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-4×（-8）}$=8．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、直线的参数方程的应用、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．