Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（a＜0），g（x）=2lnx+bx，且函数g（x）在x=1处的切线斜率为2．
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=-1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]内的任意k个实数x₁、x₂、…x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）≤16g（x_k）成立；
（3）求证：ln（2n+1）＜

n

2

+

n

i=1

6i+1

4i2-1

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出g（x）的导数，由导数的几何意义，即可求得，b=0，若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，转化为-a≤x²-2xlnx恒成立，利用导数即可求实数a的取值范围；
（2）求出f（x）的导数，求得f（x）在[e，3]上的最大值，要对[e，3]内的任意k个实数x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，得到不等式（k-1）×

8

3

≤16×2，解得即可；
（3）由（1）知，当x＞1时，lnx＜

1

2

（x-

1

x

）成立．不妨令x=

2k+1

2k-1

，x∈N^*，先证明

1

4

[ln（2k+1）-ln（2k-1）]＜

k

4k2-1

，再代入累加，即可得出ln（2n+1）＜

n

i=1

4i

4i2-1

＜

n

2

+

n

i=1

6i+1

4i2-1

（n∈N^*），即可得证．

解答： 解：（1）g（x）=2lnx+bx的导数g′（x）=

2

x

+b，
由于函数g（x）在x=1处的切线斜率为2，
即有2+b=2，解得，b=0，即有g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得

-a

x

≤x-2lnx，
由于x≥1，要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，
必须-a≤x²-2xlnx恒成立．  
设h（x）=x²-2xlnx，h′（x）=2x-2lnx-2，
∵h″（x）=2-

2

x

，∴当x≥1时，h″（x）≥0，则h′（x）是增函数，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函数，h（x）≥h（1）=0，-a≤1．
因此，实数a的取值范围是-1≤a＜0．
（2）当a=-1时，f（x）=x-

1

x

，
∵f′（x）=1+

1

x2

，
∴f（x）在[e，3]（上是增函数，f（x）在[e，3]上的最大值为f（3）=

8

3

．
要对[e，3]内的任意k个实数x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
∵当x₁=x₂=…=x_k-1=3时，不等式左边取得最大值，x_k=e时不等式右边取得最小值．
∴（k-1）×

8

3

≤16×2，解得k≤13．
因此，k的最大值为13．
（3）证明：由（1）知，当x＞1时，lnx＜

1

2

（x-

1

x

）成立．
不妨令x=

2k+1

2k-1

，x∈N^*，
∴ln

2k+1

2k-1

＜

1

2

（

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

）=

4k

4k2-1

，
∴

1

4

[ln（2k+1）-ln（2k-1）]＜

k

4k2-1

，
∴

1

4

（ln3-ln1）＜

1

4×12-1

，

1

4

（ln5-ln3）＜

2

4×22-1

，
…，

1

4

[ln（2n+1）-ln（2n-1）＜

n

4n2-1

，
累加可得

1

4

ln（2n+1）＜

n

i=1

i

4i2-1

，
即有ln（2n+1）＜4

n

i=1

i

4i2-1

=

n

i=1

4i

4i2-1

＜

n

2

+

n

i=1

6i+1

4i2-1

（n∈N^*）．
则原不等式成立．

点评：本题主要考查不等式恒成立以及不等式的证明，利用参数分离法转化为参数恒成立问题，利用导数的应用是解决本题的关键．