Question

12．已知$x∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}），sin（{\frac{π}{4}-x}）=-\frac{3}{5}$，则cos2x=$-\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 利用两角差的正弦函数公式化简已知可得cosx-sinx=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，利用二倍角公式两边平方可求sin2x，进而结合2x的范围，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．

解答 解：∵sin（$\frac{π}{4}$-x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx-sinx）=-$\frac{3}{5}$，解得：cosx-sinx=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴两边平方可得：1-sin2x=$\frac{18}{25}$，可得：sin2x=$\frac{7}{25}$，
∵x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），2x∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cos2x=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2x}$=$-\frac{24}{25}$．
故答案为：$-\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．