Question

4．已知函数f（x）=alnx-（a+1）x-$\frac{1}{x}$．
（1）当a=-$\frac{3}{2}$时，讨论f（x）的单调性；
（2）当a=1时，若g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方；
（3）证明：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N⁺，n≥2）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）a=1时，f（x）=lnx-2x-$\frac{1}{x}$，g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，求出函数的导数，利用导数性质推导出f（x）＜g（x）恒成立，由此能证明g（x）的图象恒在f（x）图象的上方；
（3）由lnx-x+1≤0 （x＞0），设K（x）=lnx-x+1，求出函数的导数，从而 $\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$，令x=n²，得 $\frac{l{nn}^{2}}{{n}^{2}}$≤1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，从而证明结论成立即可．

解答 解：（1）当a=-$\frac{3}{2}$时，f（x）=-$\frac{3}{2}$lnx+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$，（x＞0），
则f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{{2x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故f（x）的单调增区间为（0，1）及（2，+∞），减区间为（1，2）；
证明：（2）a=1时，f（x）=lnx-2x-$\frac{1}{x}$，
g（x）=-x-$\frac{1}{x}$-1，
设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，
F′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∵当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0，即f（x）＜g（x）恒成立，
∴g（x）的图象恒在f（x）图象的上方．
（3）由（2）知lnx-x+1≤0 （x＞0），
设K（x）=lnx-x+1，则K′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0，
即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
由上知 lnx≤x-1，又x＞0，∴$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$，
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得 $\frac{l{nn}^{2}}{{n}^{2}}$≤1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$+1-$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）
=$\frac{1}{2}$[n-1-（ $\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）]
＜$\frac{1}{2}$[n-1-（ $\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$）]
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{{2n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{4（n+1）}$（n∈N⁺，n≥2）．

点评 本题考查函数的单调性的讨论，考查g（x）的图象恒在f（x）图象的上方的证明，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．