Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=a₂=$\frac{1}{2}$，a_n+1=2a_n+a_n-1（n∈N^*，n≥2），则$\sum_{i=2}^{2017}{\frac{1}{{{a_{i-1}}{a_{i+1}}}}}$的整数部分是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得$\frac{1}{{a}_{i-1}{a}_{i+1}}=\frac{1}{2{a}_{i}}（\frac{1}{{a}_{i-1}}-\frac{1}{{a}_{i+1}}）=\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{i-1}{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{i}{a}_{i+1}}）$，再利用裂项相消法求和得答案．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+a_n-1，
∴2a_n=a_n+1-a_n-1，即$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n+1}}=\frac{1}{2{a}_{n}}（\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，（n∈N^*，n≥2），
又a₁=a₂=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{i-1}{a}_{i+1}}=\frac{1}{2{a}_{i}}（\frac{1}{{a}_{i-1}}-\frac{1}{{a}_{i+1}}）=\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{i-1}{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{i}{a}_{i+1}}）$（i∈N^*，i≥2），
∴$\sum_{i=2}^{2017}{\frac{1}{{{a_{i-1}}{a_{i+1}}}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}-\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}+…+$$\frac{1}{{a}_{2015}{a}_{2016}}-\frac{1}{{a}_{2016}{a}_{2017}}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{2016}{a}_{2017}}）$=$\frac{1}{2}（4-\frac{1}{{a}_{2016}{a}_{2017}}）=2-\frac{1}{2{a}_{2016}{a}_{2017}}$＜2．
∵a₁=a₂=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=2a_n+a_n-1，
∴a₂₀₁₆＞1，a₂₀₁₇＞1，则$0＜\frac{1}{{a}_{2016}{a}_{2017}}＜1$，
∴1＜$\sum_{i=2}^{2017}{\frac{1}{{{a_{i-1}}{a_{i+1}}}}}$＜2．
∴$\sum_{i=2}^{2017}{\frac{1}{{{a_{i-1}}{a_{i+1}}}}}$的整数部分是1．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推关系，训练了裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，是难题．