Question

14．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意正数a，b，若f（a）-f（b）=1，则a-b＜1，称f（x）是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．下列函数中“Ⅰ级函数”的序号是①②③
①f（x）=x³②f（x）=e^x③f（x）=x+lnx．

Answer 1

分析 根据立方差公式判断①，使用反证法判断②，利用函数单调性和对数的运算性质判断③．

解答 解：对于①，令f（a）-f（b）=1得a³-b³=1，即（a-b）（a²+ab+b²）=1，
∴a-b=$\frac{1}{{a}^{2}+ab+{b}^{2}}$，
∵a³-b³=1，a，b∈（0，+∞），∴a³=1+b³＞1，即a＞1，
∴a²+ab+b²＞1，∴a-b=$\frac{1}{{a}^{2}+ab+{b}^{2}}$＜1，
∴f（x）=x³是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．
对于②，令f（a）-f（b）=1得e^a-e^b=1，
假设a-b≥1，即a≥b+1，则e^a≥e^b+1=e•e^b，
∴e^a-e^b≥e•e^b-e^b=（e-1）e^b，
∵b＞0，∴e^a-e^b≥（e-1）e^b＞1，
与e^a-e^b=1矛盾，∴a-b＜1，
∴f（x）=e^x是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．
对于③，令f（a）-f（b）=1得a-b+lna-lnb=1，∴a-b=1+ln$\frac{b}{a}$，
∵f（x）=x+lnx是增函数，且f（a）-f（b）=1，
∴a＞b，∴ln$\frac{b}{a}$＜ln1=0，
∴a-b=1+ln$\frac{b}{a}$＜1．
∴f（x）=x+lnx是（0，+∞）上的“Ⅰ级函数”．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了对新定义的理解，函数单调性与函数大小比较，属于中档题．