题目内容
（本小题满分12分）
如图，在边长为a的正方体
中，M、N、P、Q分别为AD、CD、
、
的中点．
（1）求点P到平面MNQ的距离；
（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．
如图，在边长为a的正方体
中，M、N、P、Q分别为AD、CD、、 的中点．（1）求点P到平面MNQ的距离；
（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．
解：方法1（几何法）：∵
平面
，∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离．设
．∵平面MNQ
平面ABCD，∴由
得
平面MNQ，∴点P到平面MNQ的距离为
．……………5分
（2）设点N到平面MNQ的距离为d．可以求得
，
∴
．
．由
得
，∴
．……………10分
设直线PN与平面MPQ所成的角为
，则
．故直线PN与平面MPQ所成的角的正弦值为
．……………12分
方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）
是平面MNQ的一个法向量．
∵
，
∴点P到平面MNQ的距离
．……………5分
（2）设平面MPQ的一个法向量为
．
．
由
得
得
．
．……………10分
．设直线PN与平面MPQ所成的角为，则
．……………12分
平面，∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离．设．∵平面MNQ平面ABCD，∴由得平面MNQ，∴点P到平面MNQ的距离为．……………5分（2）设点N到平面MNQ的距离为d．可以求得
，∴
．．由得，∴．……………10分设直线PN与平面MPQ所成的角为
，则．故直线PN与平面MPQ所成的角的正弦值为．……………12分方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）
是平面MNQ的一个法向量．∵
，∴点P到平面MNQ的距离
．……………5分（2）设平面MPQ的一个法向量为
．．由
得得．．……………10分．设直线PN与平面MPQ所成的角为，则．……………12分略
练习册系列答案
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中，底面
为菱形，
，
, 
, 
,
为
的中点，
为
的中点
；
a的
值； 
中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，
．
C1C；
底面
，点
，
分别在棱
上，且
。 。 
平面
；
的中点时，求
与平面
为直二面角？并说明理由.
.
大值时，求异面直线AP与SD所成角的余弦值．
中, 
底面
，
, 
,
, 点D是
的中点.
;
平
面
中，点
是矩形
的对角线的交点，三角形
是等边三角形，棱
且
．
平面
，
，
，
与平面
中，E、F分别是边
、
的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体（如图乙所示），使
、
、
三点重合于点G，则下面结论成立的是（ ）