Question

 如图，已知点P是三角形ABC外一点，且底面
，点，分别在棱上，且 。 。 

（1）求证：平面；
（2）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
（3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

Answer 1

（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（2）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小.
（3）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.      
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.

略