Question

已知函数f（x）=sinx-

3

cosx+2，记函数f（x）的最小正周期为β，

a

=（2，cosα），

b

=（1，tan（α+

β

2

））（0＜α＜

π

4

），且

a

•

b

=

7

3

．
（1）求f（x）在区间[

2π

3

，

4π

3

]上的最值；
（2）求

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,三角函数的化简求值,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）根据辅助角公式化简，可得f（x）=2sin（x-

π

3

）+2，再由x∈[

2π

3

，

4π

3

]，利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得f（x）的最小值与最大值；
（2）根据三角函数周期公式得β=2π，利用向量的数量积公式与正弦的诱导公式算出sinα=

1

3

，从而得出cosα=

2 2

3

．再利用三角函数的诱导公式化简，可得原式=2cosα=

4 2

3

．

解答： 解：（1）函数f（x）=sinx-

3

cosx+2
=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）+2=2sin（x-

π

3

）+2，
由x∈[

2π

3

，

4π

3

]，则x-

π

3

∈[

π

3

，π]，
sin（x-

π

3

）∈[0，1]，
当x=

4π

3

时，f（x）取得最小值2，
当x=

5π

6

时，f（x）取得最大值4；
（2）∵f（x）=2sin（x-

π

3

）+2，f（x）的周期T=2π，∴β=2π，
由此可得

a

•

b

=

7

3

，则2+cosα•tan（α+π）=

7

3

，
2+cosα•tanα=

7

3

即有cosα•

sinα

cosα

=

1

3

，
可得sinα=

1

3

．
∴

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

=

2cos2α-sin2(α+2π)

cosα-sinα

=

2cos2α-sin2α

cosα-sinα

=

2cosα(cosα-sinα)

cosα-sinα

=2cosα，
∵0＜α＜

π

4

，可得cosα=

1-sin2α

=

2 2

3

，
∴

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

=2cosα=

4 2

3

．

点评：本题将一个三角函数式化简，求函数在闭区间上的最值，并且在已知向量数量积的情况下，求三角函数分式的值．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识，属于中档题．