Question

已知函数f（x）=-（x+2）（x-m）（其中m＞-2），g（x）=2^x-2﹒
（Ⅰ）若命题“log₂g（x）≤1”是真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）设命题p：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0，若?p是假命题，求m的取值范围﹒

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,命题的否定

专题：简易逻辑

分析：（Ⅰ）通过命题“log₂g（x）≤1”是真命题，转化为不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围；
（Ⅱ）写出命题p：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0的?p，利用?p是假命题，原命题是真命题，转化为不等式，求解即可得到m的取值范围﹒

解答： 解：（Ⅰ）若命题“log₂g（x）≤1”是真命题，即log₂g（x）≤1恒成立；
即log₂g（x）≤log₂2，等价于

2x-2＞0 2x-2≤2

…（3分）
解得1＜x≤2，…（4分）
故所求x的取值范围是{x|1＜x≤2}；…（5分）
（Ⅱ）因为?p是假命题，则p为真命题，…（6分）
而当x＞1时，g（x）=2^x-2＞0，…（7分）
又p是真命题，则x＞1时，f（x）＜0，
所以f（1）=-（1+2）（1-m）≤0，即m≤1；…（9分）
（或据-（x+2）（x-m）＜0解集得出）
故所求m的取值范围为{m|-2＜m≤1}﹒…（10分）

点评：本题考查命题的真假的判断与应用，转化思想的应用，不等式组的解法，考查分析问题解决问题的能力．