Question

设函数，其中.
（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的极值.

Answer 1

（Ⅰ）解：函数的定义域是.      ……………… 1分
对求导数，得.  ………… 3分
由题意，得，且，
解得.                       ………………………… 5分
（Ⅱ）解：由，得方程，
一元二次方程存在两解，，………… 6分
当时，即当时，
随着x的变化，与的变化情况如下表：   

	↘	极小值	↗

 即函数在上单调递减，在上单调递增.
所以函数在存在极小值；   …………… 8分
当时，即当时，
随着x的变化，与的变化情况如下表：   

	↗	极大值	↘	极小值	↗

即函数在，上单调递增，在上单调递减.
所以函数在存在极小值，在存在极大值；            ………………………… 10分
当时，即当时，
因为（当且仅当时等号成立），
所以在上为增函数，故不存在极值；     ……………12分
当时，即当时，
随着x的变化，与的变化情况如下表：   

		极大值		极小值

即函数在，上单调递增，在上单调递减.
所以函数在存在极大值，在存在极小值；
综上，当时，函数存在极小值，不存在极大值；
当时，函数存在极小值，存在极大值 ；
当时，函数不存在极值；
当时，函数存在极大值，存在极小值.

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及运用到导数求解函数极值的综合运用
（1）先分析定义域，然后求解导数得到再给定点的导数值，进而确定切线方程 。
（2）需要对参数a进行分类讨论，判定单调性，进而得到不同情况下的极值问题。