已知函数y=f(x).x∈D.如果对于定义域D内的任意实数x.对于给定的非零常数m.总存在非零常数T.恒有f成立.则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数.周期为T.若恒有f成立.则称函数f(x)是D上的m级类周期函数.周期为T．=-x2+ax是[3.+∞)上的周期为1的2级类增周期函数.求实数a的取值范围,是[0.+∞)上的m级类周期函数.且y=f上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T，若恒有f（x+T）=mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）已知函数f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上的m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x，求实数m的取值范围．

分析（1）根据题意-（x+1）²+a（x+1）＞2（-²+ax）对一切[3，+∞）恒成立，转化为a＜$\frac{{x}^{2}-2x-1}{x-1}$=$\frac{{（x-1）}^{2}-2}{x-1}$=（x-1）-$\frac{2}{x-1}$，利用基本不等式求解即可．
（2）分类讨论f得出f（x）在[0，+∞）上单调递增，m＞0且mⁿ•2^n-n＞m^n-1•2^n-（n-1），即m≥2．

解答解：（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），
即-（x+1）²+a（x+1）＞2（-²+ax）对一切[3，+∞）恒成立，
（x-1）a＜x²-2x-1，
∵x∈[3，+∞）
∴a＜$\frac{{x}^{2}-2x-1}{x-1}$=$\frac{{（x-1）}^{2}-2}{x-1}$=（x-1）-$\frac{2}{x-1}$，
令x-1=t，则t∈[2，+∞），
g（x）=t-$\frac{2}{t}$ 在[2，+∞）上单调递增，
∴g（t）_min=g（2）=1，
∴a＜1．
（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2^x，
∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，
当x∈[n，n+1]时，f（x）=mf（x-1）=m²f（x-2）=…=mⁿf（x-n）=mⁿ•2^x-n，
即x∈[n，n+1）时，f（x）=mⁿ•2^x-n，n∈N^*，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴m＞0且mⁿ•2^n-n＞m^n-1•2^n-（n-1），即m≥2．