Question

4．设S_n，为数列{a_n}的前n项和，若S_n=2ⁿ-1，则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}•{S}_{n}+{a}_{6}}$的最大值为$\frac{1}{15}$．

Answer 1

分析 S_n=2ⁿ-1，可得a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}•{S}_{n}+{a}_{6}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{64}{{2}^{n}}-1}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵S_n=2ⁿ-1，∴a₁=S₁=2-1=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．
则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}•{S}_{n}+{a}_{6}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}（{2}^{n}-1）+{2}^{5}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{64}{{2}^{n}}-1}$≤$\frac{1}{2\sqrt{{2}^{n}•\frac{64}{{2}^{n}}}-1}$=$\frac{1}{15}$，当且仅当n=3时取等号．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}•{S}_{n}+{a}_{6}}$的最大值为$\frac{1}{15}$．
故答案为：$\frac{1}{15}$．

点评 本题考查了递推关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．