Question

17．函数f（x）=x+sinxcosx在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域是[-$\frac{π+2}{4}$，$\frac{π+2}{4}$]．

Answer 1

分析 求导并判断导数的正负，从而确定函数的单调性，从而确定函数的值域．

解答 解：∵f（x）=x+sinxcosx，
∴f′（x）=1+cosxcosx-sinxsinx=2cos²x＞0，
∴f（x）=x+sinxcosx在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上单调递增，
∴-$\frac{π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x+sinxcosx≤$\frac{π}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-$\frac{π+2}{4}$≤f（x）≤$\frac{π+2}{4}$，
故答案为：[-$\frac{π+2}{4}$，$\frac{π+2}{4}$]．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的单调性与值域的求法，属于中档题．