Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=-a_n+2n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式S_n=-a_n+2n得到S_n-1=2（n-1）-a_n-1，两式作差后构造等比数列{a_n-2}，由等比数列的通项公式求得答案．
（2）由已知中b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2

1

2n+2-2

-

1

2n+2-1

=

1

(2n+2-2)(2n+2-1)

≤

1

22n

，由等比数列的前n项和公式，可得答案．

解答： 解：（1）由S_n=-a_n+2n①
得S_n-1=2（n-1）-a_n-1 （n≥2）②
①-②得：2a_n=a_n-1+2，
∴a_n-2=

1

2

（a_n-1-2）（n≥2），
又S₁=a₁=2×1-a₁，得a₁=1．
∴{a_n-2}构成以-1为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
∴a_n-2=-1×（

1

2

）^n-1=-（

1

2

）^n-1，
a_n=2-（

1

2

）^n-1．
当n=1时上式成立．
∴a_n=2-（

1

2

）^n-1．
证明：（2）∵b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2=

1

2n+2-2

-

1

2n+2-1

=

1

(2n+2-2)(2n+2-1)

≤

1

22n

，
故T_n≤

1

4

+

1

16

+

1

64

+…+

1

22n

=

1

3

-

1

3

（

1

4

）ⁿ＜

1

3

点评：本题考查数列的递推式，考查了a_n=pa_n-1+q型递推式的通项公式的求法，等比数列求和，放缩法证明不等式，解答（1）键是构造出新的等比数列，解答（2）的关键是进行放缩，属于中档题．