Question

12．已知0＜a＜2，证明：$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{2-a}$≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}）（a+2-a）$=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2-a}{a}+\frac{4a}{2-a}$）$≥\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{2-a}{a}×\frac{4a}{2-a}}）=\frac{9}{2}$证明．

解答 解：∵0＜a＜2，∴2-a＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}）（a+2-a）$=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2-a}{a}+\frac{4a}{2-a}$）$≥\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{2-a}{a}×\frac{4a}{2-a}}）=\frac{9}{2}$
当$\frac{2-a}{a}=\frac{4a}{2-a}$，即a=$\frac{2}{3}$时，取等号

点评 本题考查了综合法证明不等式，解题的关键是构造均值不等式的形式，属于中档题．