Question

已知函数f（x）为反比例函数，且图象经过（-1，2），g（x）=x²-2x．
（1）求函数f[g（x）]的解析式与定义域；
（2）求函数f[g（x）]的值域；
（3）判断并证明函数f[g（x）]在区间（2，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）代入点求出f（x）的解析式，从而求函数f[g（x）]的解析式与定义域；（2）分母不能为0；（3）先判断，后用定义法证明．

解答： 解：（1）设f（x）=

k

x

，则2=

k

-1

，解得k=-2．
则f（x）=-

2

x

，
则f[g（x）]=

-2

x2-2x

，
由x²-2x≠0解得函数f[g（x）]的定义域为
{x|x≠0且x≠2}．
（2）∵x²-2x=（x-1）²-1≥-1且x²-2x≠0；
则

-2

x2-2x

＜0或

-2

x2-2x

≥2；
即函数f[g（x）]的值域为（-∞，0）∪[2，+∞）．
（3）f[g（x）]在区间（2，+∞）上的单调递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

-2

x12-2x1

-

-2

x22-2x2

=-

2(x2-x1)(x2+x1-2)

x1x2(x1-2)(x2-2)

，
∵2＜x₁＜x₂，
∴-

2(x2-x1)(x2+x1-2)

x1x2(x1-2)(x2-2)

＜0，
即：f（x₁）＜f（x₂）；
∴f[g（x）]在区间（2，+∞）上的单调递增．

点评：本题综合考查了函数的定义及其基本性质，属于基础题．