Question

已知定圆C₁：x²+y²+10x+24=0，C₂：x²+y²-10x+9=0，动圆C与定圆C₁，C₂都外切．求动圆圆心C的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：化圆的一般式方程为标准式，求出圆的圆心坐标和半径，然后根据动圆C与定圆C₁，C₂都外切可得|CC₂|-|CC₁|=4-1=3，从而得到动圆的圆心轨迹为以C₁，C₂为焦点的双曲线的左支，则答案可求．

解答： 解：由C₁：x²+y²+10x+24=0，得（x+5）²+y²=1，
∴圆C₁的圆心坐标为（-5，0），半径为1，
由C₂：x²+y²-10x+9=0，得（x-5）²+y²=16，
∴圆C₂的圆心坐标为（5，0），半径为4，
设动圆C的圆心坐标为（x，y），
由动圆C与定圆C₁，C₂都外切，得
|CC₂|-|CC₁|=4-1=3，
∴动圆圆心C的轨迹是以C₁，C₂为焦点的双曲线的左支，
且2a=3，c=5，
∴b2=c2-a2=

91

4

．
∴动圆圆心C的轨迹方程为

4x2

9

-

4y2

91

=1(x＜0)．

点评：本题考查了双曲线的定义，考查了圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．