Question

已知椭圆的短轴长是长轴长与焦距的等比中项，求椭圆的离心率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，通过椭圆的短轴长是长轴长与焦距的等比中项，建立关于a，b，c的等式，求出椭圆的离心率即可．

解答： 解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，
∵椭圆的短轴长是长轴长与焦距的等比中项，
∴4b²=2a•2c，
∴b²=a•c
∴b²=a²-c²=a•c，
两边同除以a²得：e²+e-1=0，
解得，e=

-1± 5

2

（舍负），
∴e=

-1+ 5

2

．

点评：本题考查椭圆的基本性质，等比数列性质的应用，考查计算能力，属于基础题．