Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形， 是边长为2的等边三角形， , .

Ⅰ求证： 底面ABCD；

Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小；

Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】Ⅰ见解析； ⅡⅢ.

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 由题意可得，从而可得底面ABCD． (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得到所求的线面角． Ⅲ根据坐标法求解探索性问题，假设存在点M满足条件，并设且，求得点点M坐标后，根据与平面BDF的法向量垂直可得，从而得到符合题意的点M存在．

试题解析：

Ⅰ证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴O为中点

又，

∴，

又，

∴底面

Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得，又由Ⅰ可知．

建立如图所示的空间直角坐标系．

由是边长为2的等边三角形， ，可得．

所以

∴ ．

由已知可得，

设平面BDF的法向量为，

由，可得，

令，则．

设直线CP与平面BDF所成的角为，

则，

又，

∴．

∴直线CP与平面BDF所成角的大小为．

Ⅲ解：假设存在点M满足条件，且，

则.

若使平面BDF，需且仅需且 平面BDF，

由，解得符合题意．

∴在线段PB上存在一点M，使得平面BDF，且