Question

已知a，b∈R，若矩阵A=

-1 a b 3

所对应的变换T_A把直线l：2x-y=3变换为它自身．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b；
（Ⅱ）求出|A|，即可求矩阵A的逆矩阵

解答： 解：（Ⅰ）设直线2x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换T_A的作用下变成点P'（x'，y'），
由题意知2x'-y'-3=0，由

-1 a b 3

x y

=

x′ y

，
得x'=-x+ay，y'=bx+3y，
代入直线2x'-y'-3=0得2（-x+ay）-（bx+3y）-3=0，
即（-b-2）x+（2a-3）y-3=0，
由点P（x，y）的任意性可得-b-2=2，2a-3=-1，
解得a=1，b=-4．         
（2）A=

-1 1 -4 3

，|A|=-3+4=1，
∴A^-1=

3 -1 4 -1

．

点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，矩阵A的逆矩阵，比较基础．