Question

已知向量

a

=（a_n+1，1），

b

=（1，-a_n），

a

•

b

=2，设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄、S₆、S₉成等比数列．
（Ⅰ）求a_n与S_n；
（Ⅱ）若b_n=

1

Sn+n

+3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,平面向量数量积的运算

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得a_n+1-a_n=2，(6a1+30)2=(4a1+12)(9a1+72)，由此能求出a_n=2n-1，Sn=n2．
（Ⅱ）bn=

1

n(n+1)

+3n=(

1

n

-

1

n+1

)+3n，由此利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

a

=（a_n+1，1），

b

=（1，-a_n），

a

•

b

=2，
a_n+1-a_n=2，…（1分）
∴数列{a_n}为等差数列，
Sn=na1+

n(n-1)

2

×2=na1+n2-n，
S₄=4a₁+12，S₆=6a₁+30，S₉=9a₁+72
∴(6a1+30)2=(4a1+12)(9a1+72)，
解得a₁=1，
所以a_n=2n-1，Sn=n2．
（Ⅱ）bn=

1

n(n+1)

+3n=(

1

n

-

1

n+1

)+3n，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

+

3(1-3n)

1-3

=1-

1

n+1

+

3(3n-1)

2

=

1

2

•3n+1-

1

n+1

-

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法和裂项求和法的合理运用．