题目内容
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c2=bccosA+cacosB+abcosC．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若
•
=-3，
•
=9，求角B的大小．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若
| AB |
| BC |
| AB |
| AC |
考点：三角形的形状判断,平面向量数量积的运算
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）利用余弦定理，2bccosA=b2+c2-a2，2cacosB=a2+c2-b2，2abcosC=a2+b2-c2，结合已知，易得a2+b2=c2，从而可判断△ABC的形状；
（Ⅱ）利用向量的数量积，可得accosB=3，bccosA=9，两式相除，再利用正弦定理即可求得tanA=
，从而可求得A，继而可得B的值．
（Ⅱ）利用向量的数量积，可得accosB=3，bccosA=9，两式相除，再利用正弦定理即可求得tanA=
| ||
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，c2=bccosA+cacosB+abcosC，
∴由余弦定理可得：2bccosA=b2+c2-a2，2cacosB=a2+c2-b2，2abcosC=a2+b2-c2，
∴2c2=（b2+c2-a2）+（a2+c2-b2）+（a2+b2-c2），
即a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）∵
•
=-3，
•
=9，
即accos（π-B）=-accosB=-3，bccosA=9，
两式相除得：
=
=
，又△ABC为直角三角形，C为直角；
∴cosB=cos（
-A）=sinA，由正弦定理可得：
=
=
，A为锐角，
∴tanA=
，
∴A=
，B=
．
∴由余弦定理可得：2bccosA=b2+c2-a2，2cacosB=a2+c2-b2，2abcosC=a2+b2-c2，
∴2c2=（b2+c2-a2）+（a2+c2-b2）+（a2+b2-c2），
即a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）∵
| AB |
| BC |
| AB |
| AC |
即accos（π-B）=-accosB=-3，bccosA=9，
两式相除得：
| acosB |
| bcosA |
| 3 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
∴cosB=cos（
| π |
| 2 |
| acosB |
| bcosA |
| sinA•sinA |
| cosA•cosA |
| 1 |
| 3 |
∴tanA=
| ||
| 3 |
∴A=
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理与正弦定理的综合应用，判断得到△ABC为直角三角形是关键，属于中档题．
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