Question

如图，在直三棱柱中，D、E分别是BC和的中点，已知AB=AC=AA₁=4，ÐBAC=90°.

（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）见解析   (2)    (3)8

试题分析：
(1)(2)(3)均可利用坐标法,即分别以建立三维空间坐标系.下面重点分析法2
(1)利用勾股定理可以求的线段的长,而要证明面,只需要证明,首先可以三次利用勾股定理把的三条边长求出,再利用勾股定理证明,线段为等腰直角三角形ABC的三线合一即有,可得到面,进而得到,即可通过线线垂直证明面DAE.
(2)要求二面角的余弦值,需要作出该二面角的平面角,为此过D做DM⊥AE于点M，连接B₁M.,根据第一问有面AED且可以得到面,则即为所求二面角的平面角,即该角的余弦值为.利用勾股定理即可得到的长,进而得到二面角的余弦值.
(3)由(1)可得面,则该三棱锥可以以作为底面,高为来求的体积,而AD和三角形的面积都可以用勾股定理求的.
试题解析：

法1:依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为＝4，所以A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B₁（4，0，4）.                         （1分）
（1），，.             （2分）
因为，所以，即.    （3分）
因为，所以，即.     （4分）
又AD、AEÌ平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面.          （5分）
（2）由（1）知为平面AED的一个法向量.            （6分）
设平面 B₁AE的法向量为，因为，，
所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）
∴，                （8分）
∴二面角的余弦值为.                             （9分）
（3）由，，得，所以AD⊥DE. （10分）
由，，得.    （11分）
由（1）得B₁D为三棱锥B₁-ADE的高，且，             （12分）
所以.                        （13分）
法2:依题意得，平面ABC，，，
，.
（1）∵，D为BC的中点，∴AD⊥BC.
∵B₁B⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥B₁B.
BC、B₁B平面B₁BCC₁，且BC∩B₁B=B，所以AD⊥平面B₁BCC₁.
又B₁D平面B₁BCC₁，故B₁D⊥AD .                               （2分）
由，，，
得，所以.                        （4分）
又AD、DE平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面.        （5分）
（2）过D做DM⊥AE于点M，连接B₁M.
由B₁D⊥平面AED，AE平面AED，得AE ⊥B₁D.
又B₁D、DM平面B₁DM，且B₁D∩DM=D，故AE⊥平面B₁DM.
因为B₁M平面B₁DM，所以B₁M⊥AE.
故∠B₁MD为二面角B₁—AE—D的平面角.                          （7分）
由（1）得，AD⊥平面B₁BCC₁，又DE平面B₁BCC₁，所以AD⊥DE.
在Rt△AED中，，                       （8分）
在Rt△B₁DM中，，
所以，即二面角B₁—AE—D的余弦值为. （9分）
（3）由（1）得，AD⊥平面B₁BCC₁，
所以AD为三棱锥A-B₁DE的高，且.                      （10分）
由（1）得.             （11分）
故.                    （13分）