Question

如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。

（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

（1）见解析（2）（3）

试题分析：（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B1C平行，在利用PD∥平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行；
（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；
（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可．
试题解析：解法一：

（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点     1分
D为AC中点，PD//，                   3分
又PD平面D，//平面D         4分
（2）正三棱住， 底面ABC，又BDAC，BD，就是二面角的平面角     6分
=，AD=AC=1，tan =
=, 即二面角的大小是        8分
（3）由（2）作AM，M为垂足                 9分
BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC
BD平面，AM平面，BDAM
又BD = D，AM平面，                10分
连接MP，则就是直线与平面D所成的角      11分
=，AD=1，在RtD中，=，
，，
直线与平面D所成的角的正弦值为      13分
解法二：
（1）同解法一        4分
（2）如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）=（1，，），=（1，0，）    5分
设平面的法向量为n=（x，y，z）
则n
n，则有，得n=（，0，1） 6分
由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量.
设n与所成角为，则，    7分
又，，即二面角的大小是      8分
（3）由已知得=（1，，）, n=（，0，1）         9分
则             12分
直线与平面D所成的角的正弦值为             13分