题目内容

10．已知{an}的前n项和为Sn，且满足点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函数f（x）=40-x上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）n为何值时，Sn的值最大，并求Sn的最大值．

分析 （1）根据点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函数f（x）=40-x上，得到Sn=40n-n2，再根据的递推公式得到数列{an}的通项公式，
（2）由（1）得Sn=40n-n2=-（n-20）2+400，根据二次函数的性质即可求出．

解答 解：（1）点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函数f（x）=40-x上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=40-n，
∴Sn=40n-n2，
当n=1时，S1=40-12=39，
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=（40n-n2）-[40（n-1）-（n-1）2]=-2n+41，
当n=1时，成立，
∴an=-2n+41
（2）由（1）得Sn=40n-n2=-（n-20）2+400，
当n=20时，Sn的值最大，Sn的最大值为400

点评 本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项公式，解题的关键是掌握数列求通项的方法，属于中档题

练习册系列答案
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