题目内容

20．设p：$\frac{2x-1}{x-1}≤0$，q：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若?q是?p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

分析 分别求出关于p，q的不等式，根据?q是?p的充分不必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：由$\frac{2x-1}{x-1}≤0$，解得：$\frac{1}{2}$≤x＜1，
故p：$\frac{1}{2}$≤x＜1，
由：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，解得：a≤x≤a+1，
故q：a≤x≤a+1，
若?q是?p的充分不必要条件，
则p是q的充分不必要条件，
则[$\frac{1}{2}$，1）?[a，a+1]，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a+1≥1}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤$\frac{1}{2}$，
即a的范围是[0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题以及集合的包含关系，是一道基础题．

练习册系列答案
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10．已知{an}的前n项和为Sn，且满足点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函数f（x）=40-x上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）n为何值时，Sn的值最大，并求Sn的最大值．
11．已知函数f（x）=x2+（b-$\sqrt{1-{a}^{2}}$）x+$\frac{b+1}{a+2}$为偶函数，则该函数图象与y轴交点纵坐标的取值范围是0≤t≤$\frac{4}{3}$．
8．已知sinx=x-$\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+…{（{-1}）^{n-1}}\frac{{{x^{2n-1}}}}{{（{2n-1}）!}}$+…，由sinx=0有无穷多个根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：$sinx=x（{1-\frac{x^2}{π^2}}）（{1-\frac{x^2}{{4{π^2}}}}）（{1-\frac{x^2}{{9{π^2}}}}）…$，把这个式子的右边展开，发现-x3的系统为$\frac{1}{π^2}+\frac{1}{{{{（{2π}）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{3π}）}^2}}}+…=\frac{1}{3!}$，即$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{{{{（2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（3）}^2}}}+…=\frac{π^2}{6}$，请由cosx=1-$\frac{x^2}{2！}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+…+{（{-1}）^{n-1}}\frac{{{x^{2（{n-1}）}}}}{{2（{n-1}）!}}$+…出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…=$\frac{{π}^{2}}{8}$．
15．若函数f（x）=ax-lnx在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得极值，则实数a的值为（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$\frac{\sqrt{2}}{2}$C．2D．$\frac{1}{2}$
5．设函数f（x）=k（x-1）-2lnx（k＞0）．
（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数k的值；
（2）设函数g（x）=xe1-x（其中e为自然对数的底数），若对任意给定的s∈（0，e），均存在两个不同的ti∈（${\frac{1}{e^2}，e}$）（i=1，2），使得f（ti）=g（s）成立，求实数k的取值范围．
12．过点（1，6）与点（2，4）的直线的倾斜角为π-arctan2．
9．已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，则函数y=x（1-2x）的最大值是（　　）
A．$\frac{1}{8}$B．$\frac{1}{4}$C．$\frac{1}{2}$D．没有最大值
16．函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=-f（x），若当x∈（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）x，则f（2017）=（　　）
A．-$\frac{1}{4}$B．$\frac{1}{4}$C．-4D．4

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