Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{

bn

an+2

}的前n项和，求证：T_n≥

1

2

；
（3）数列{a_n}中是否存在三项a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+2=2（a_n-1+2），从而{a_n+2}是以4为首项，公比为2的等比数列，由此得到an=2n+1-2．
（2）由已知得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，由此利用错位相减法能证明Tn≥

1

2

．
（3）假设存在三项a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差数列，则2^r+1-2+2^t+1-2=2•2^s+1-4，由此推导出不存在三项a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差数列．

解答： （1）解：∵S_n=2a_n-2n，（n∈N^*），
∴S_n-1=2a_n-1-2n+1，n≥2，
∴a_n=2a_n-1+2，n≥2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴{a_n+2}是以4为首项，公比为2的等比数列
∴an=2n+1-2．（4分）
（2）证明：∵b_n=log₂（a_n+2）=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
∴Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，①

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n+1

2n+2

，②
错位相减法得：Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

当n≥2时，Tn-Tn-1=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}是递增数列，则Tn≥T1=

1

2

，
∴Tn≥

1

2

．（8分）
（3）解：假设存在三项a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差数列，
且a_r＜a_s＜a_t
则a_r+a_t=2a_s
即：2^r+1-2+2^t+1-2=2•2^s+1-4，
1+2t-r=2s-r+1

∵t-r，s-r+1

均为正整数，等式左端为奇数，
右端为偶数，显然不成立．
∴不存在三项a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差数列．（12分）

点评：本题考查列{a_n}的通项公式的求法，考查T_n≥

1

2

的证明，考查数列{a_n}中是否存在三项a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差数列的判断与求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．