Question

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求直线BE与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出DC⊥面ABC，由此能证明平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）取BD的中点P，连结EP、FP，由已知条件推导出四边形AFPE是平行四边形，由此能证明AF∥面BDE．
（Ⅲ）∠EBP是直线BE与平面BCD所成角，由此能求出其正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵面ABC⊥面ACDE，
面ABC∩面ACDE=AC，CD⊥AC，
∴DC⊥面ABC，
又∵DC?面BCD，∴平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）证明：取BD的中点P，连结EP、FP，则FP

∥

.

1

2

DC，
又∵EA

∥

.

1

2

DC，∴EA

∥

.

FP，
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE且AF?面BDE，∴AF∥面BDE．
（Ⅲ）解：∵DC⊥面ABC，∴DC⊥AF，
∵等腰直角△ABC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，∵DC交BC于C，∴AF⊥面BCD，
又AF∥EP，∴EP⊥面BCD，
∴∠EBP即为所求，
∴sin∠EBP=

10

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．