Question

已知函数(n∈Z)满足f(8)－f(5)＞0.

（1）求f(x)的解析式；

（2）对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在k＞0，使

h(x)＝1－f(x)＋(2k―1)x在区间[―1, 2]上的值域为[―4, ]？若存在，求出k；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵f(8)＞f(5)，即f(x)在第一象限为增函数

∴－n²＋n＋2＞0，得－1＜n＜2

又由n∈Z，∴n＝0或n＝1

∴f(x)＝2x²

（2）假设存在k＞0满足条件，

由已知h(x)＝－kx²＋(2k－1)x＋1，－1≤x≤2

∵h(2)＝－1∴两个最值点只能在端点(―1, h(―1))和顶点(,)处取得

而―h(―1)＝―(2―3k)＝≥0

∴h_max＝＝且h_min＝h(－1)＝2－3k＝－4

解得k＝2

∴存在k＝2满足条件