Question

设函数f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x） （0＜x＜1），求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的最值及其几何意义,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可求出函数的最值．

解答： 解：函数的f（x）的导数f′（x）=log₂x+

1

ln2

-log₂（1-x）-

1

ln2

=log₂x-log₂（1-x）
由f′（x）＞0得log₂x-log₂（1-x）＞0，即log₂x＞log₂（1-x），即x＞1-x，
解得

1

2

＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得log₂x-log₂（1-x）＜0，即log₂x＜log₂（1-x），即x＜1-x，
解得0＜x＜

1

2

，此时函数单调递减，
故当x=

1

2

时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（

1

2

）=

1

2

log₂

1

2

+（1-

1

2

）log₂（1-

1

2

）=-

1

2

-

1

2

=-1．

点评：本题主要考查函数最值的求解，利用复合函数导数的运算法则，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．