题目内容
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2
．
（1）求双曲线的方程
（2）若直线l：y=kx+
与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．
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（1）求双曲线的方程
（2）若直线l：y=kx+
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考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2
，求出几何量，即可求出双曲线的标准方程；
（2）由直线l与双曲线交于不同的两点得k2≠
且k2＜1，再由∠AOB为锐角，得xAxB+yAyB＞0，利用韦达定理结合题设条件进行求解．
| 3 |
（2）由直线l与双曲线交于不同的两点得k2≠
| 1 |
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解答：
解：（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2
，
∴2a=2
，a=
，c=2，b=1，
∴双曲线的方程为
-y2=1；
（2）将y=kx+
代入双曲线消去y得（1-3k2）x2-6
kx-9=0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2≠
且k2＜1．①
设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB=
，xAxB=
．
由∠AOB为锐角，得xAxB+yAyB＞0，
即xAxB+yAyB=xAxB+（kxA+
）（kxB+
）=（k2+1）xAxB+
k（xA+xB）+2
=
＞0．②
，
∴1-3k2＜0
综上：k∈(-1，-
)∪(
，1)
| 3 |
∴2a=2
| 3 |
| 3 |
∴双曲线的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）将y=kx+
| 2 |
| 2 |
由直线l与双曲线交于不同的两点得
|
即k2≠
| 1 |
| 3 |
设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB=
6
| ||
| 1-3k2 |
| -9 |
| 1-3k2 |
由∠AOB为锐角，得xAxB+yAyB＞0，
即xAxB+yAyB=xAxB+（kxA+
| 2 |
| 2 |
| 2 |
=
| 3k2+7 |
| 3k2-1 |
|
∴1-3k2＜0
综上：k∈(-1，-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知a=
，b=
，c=
，则a，b，c的大小关系是（ ）
| sin1 |
| 1 |
| sin2 |
| 2 |
| sin3 |
| 3 |
| A、a＞b＞c |
| B、a＞c＞b |
| C、c＞a＞b |
| D、c＞b＞a |
设椭圆D：