Question

4．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． ±1
• C． $±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 求得焦点坐标，由x₀+$\frac{p}{2}$=5，求得x₀=4，作差$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$，由$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-1}$．联立即可求得y₀，即可求得直线l的斜率．

解答 解：物线C：y²=4x的焦点F（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，即x₀+$\frac{p}{2}$=5，则x₀=4，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}}\\{{y}_{1}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，两式相减得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$，即k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-1}$．
则$\frac{2}{{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-1}$．$\frac{2}{{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{4-1}$，则y₀=±$\sqrt{6}$，
∴直线l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-1}$=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故选C．

点评 本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、中点坐标公式与斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．