Question

14．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的实数x都有f（-x）=f（x+2），且f（-1）=2，f（2）=-1．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（　　）

• A． 2017
• B． 1010
• C． 1008
• D． 2

Answer 1

分析 根据题意，结合函数的奇偶性分析可得f（x）=f（-x）=f（x+2），即可得函数f（x）的周期为2，即有f（x）=f（x+2）成立；进而分析可得f（1）=f（3）=f（5）=…=f（2017）=2和f（2）=f（4）=f（6）=…=f（2016）=-1，将其值代入f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）中，计算即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）是偶函数，且对任意的实数x都有f（-x）=f（x+2），
则有f（x）=f（-x）=f（x+2），
即函数f（x）的周期为2，即有f（x）=f（x+2）成立；
若f（-1）=2，则f（1）=f（3）=f（5）=…=f（2017）=2，
f（2）=-1，则f（2）=f（4）=f（6）=…=f（2016）=-1，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=2×1009+（-1）×1008=1010，
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质，分析得到函数的周期．