Question

9．将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．如果数列存在成等比数列的子数列，那么称该数列为“弱等比数列”．已知m＞1，设区间（m，+∞）内的三个正整数a，x，y满足：数列a²，$\sqrt{{y}^{2}-1}$，cos$\frac{π}{2}$，x²-1为“弱等比数列”，则$\frac{a}{x}$的最小值为2．

Answer 1

分析 由新定义可得数列a²，$\sqrt{{y}^{2}-1}$，x²-1为等比数列，进一步得到$\frac{{x}^{2}}{\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}}-\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，由此可得$\frac{{x}^{2}}{\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}}≤1$，即${x}^{2}≤\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$，再转化为只含a的代数式，配方后利用基本不等式求最值．

解答 解：由题意，数列a²，$\sqrt{{y}^{2}-1}$，cos$\frac{π}{2}$，x²-1为“弱等比数列”，
则数列a²，$\sqrt{{y}^{2}-1}$，x²-1为等比数列，
∴y²-1=a²（x²-1），
即a²x²-y²=a²-1，
由题意可知，a＞1，
∴$\frac{{x}^{2}}{\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}}-\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，
则$\frac{{x}^{2}}{\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}}≤1$，∴${x}^{2}≤\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$，
则$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}≥\frac{{a}^{4}}{{a}^{2}-1}$=$\frac{（{a}^{2}-1）^{2}+2（{a}^{2}-1）+1}{{a}^{2}-1}$=$（{a}^{2}-1）+\frac{1}{{a}^{2}-1}+2≥4$，
当且仅当${a}^{2}-1=\frac{1}{{a}^{2}-1}$，即a=2（a＞1）时取等号．
∴$\frac{a}{x}≥2$（a＞1，x＞1）．
即$\frac{a}{x}$的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用基本不等式求最值，是难题．