Question

已知椭圆

x2

2

+y²=1，A、B、M是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）．若存在锐角θ，使

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，则直线OA、OB的斜率乘积为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），由

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，可得x，y的坐标表达式，进而根据M在椭圆上，可得直线OA与OB的斜率之积．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x12

2

+y12=1①，

x22

2

+y22=1②
又设M（x，y），
∵

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

∵M在椭圆上，
∴

(x1cosθ+x2sinθ)2

2

+(y1cosθ+y2sinθ)2=1，
整理得（

x12

2

+y12）cos²θ+(

x22

2

+y22)•sin2θ+2(

x 1x2

2

+y1y2)cosθsinθ=1，
将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得

x 1x2

2

+y1y2=0，
所以，k_OAk_OB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查运算能力及探究能力，属于中档题．